Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=2a_n-1+2ⁿ+3，求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：把給出的遞推式兩邊同時(shí)乘以

1

2n

，然后分別取n=1，2，3，…，n，然后利用累加法求解．

解答： 解：由a_n=2a_n-1+2ⁿ+3，得：

an

2n

=

an-1

2n-1

+

3

2n

+1（n≥2）．
則

a2

22

=

a1

21

+

3

22

+1，

a3

23

=

a2

22

+

3

23

+1，

a4

24

=

a3

23

+

3

24

+1，
…

an

2n

=

an-1

2n-1

+

3

2n

+1．
累加得：

an

2n

=

a1

2

+3(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)+n-1，
∴

an

2n

=

1

2

+3×

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

+n-1，
則an=(n+1)•2n-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．