Question

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，其中b=4，A=

π

3

，△ABC的面積S=2

3

．
（1）求BC邊的長(zhǎng)度；
（2）求

sin2( A 4 + π 4 )+cos2B

cot C 2 +tan C 2

的值．

Answer 1

分析：（1）由A的度數(shù)求出sinA及cosA的值，再由三角形的面積S及b的值，利用三角形的面積公式求出c的值，然后由cosA，b及c的值，利用余弦定理即可求出a的值，即為BC邊的長(zhǎng)度；
（2）由第一問求出的a的值及sinA，b的值，利用正弦定理求出sinB的值，根據(jù)B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)，再由A的度數(shù)及三角形的內(nèi)角和定理求出C的度數(shù)，最后把求出的A，B及C的度數(shù)代入所求的式子中，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出原式的值．

解答：解：（1）在△ABC中，S=

1

2

bcsinA，即2

3

=

1

2

×4×c×

3

2

，
∴c=2，（2分）又b=4，
根據(jù)余弦定理得：a=

b2+c2-2bcosA

=

16+4-2×4×2× 1 2

=2

3

，
即BC邊的長(zhǎng)度為2

3

；（4分）

（2）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，
得

2 3

3 2

=

4

sinB

，sinB=1，（6分）
又∵0＜B＜π，
∴B=

π

2

，∴C=

π

6

，（7分）
則

sin2( A 4 + π 4 )+cos2B

cot C 2 +tan C 2

=

sin2 π 3 +cosπ

cos C 2 sin C 2 + sin C 2 cos C 2

=

sin2 π 3 +cosπ

sin2 C 2 +cos2 C 2   1 2 ×2sin  C 2 cos C 2

=(

3

4

-1)×

1

2

sinC=-

1

16

．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解本題的關(guān)鍵．