如圖四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的菱形,且∠BAD=60°,PA⊥平面ABCD,設(shè)E為BC的中點,二面角P-DE-A為45°.
(1 ) 求點A到平面PDE的距離;
(2 ) 在PA上確定一點F,使BF∥平面PDE;
(3 ) 求平面PDE與平面PAB所成的不大于直二面角的二面角的大。ㄓ梅慈呛瘮(shù)表示).
分析:(1)要想求點到面的距離,必須過點找到底面的垂線,即AH⊥面PDE,那么AH為點A到平面PDE的距離,然后再求線段的長度即可;(2)根據(jù)線面平行的判定定理可知,只有在面內(nèi)找到一條線與已知直線平行,即BF∥EH,線線平行從而達到線面平行的目的;(3)根據(jù)定義先作出二面角的平面角,即∠AOH為平面PDE與平面PAB二面角的平面角,然后解三角形即可得到角的大小.
解答:解:由題意知
(1)∵DE為正△BCD的中線
∴DE⊥BC
∵AD∥BC
∴DE⊥AD,
又∵PA⊥平面ABCD且DE⊆面ABCD
∴DE⊥PD
即∠PDA為二面角P-DE-A的平面角
又∵∠PDA=45°且PA=AD
∴△PAD為等腰直角三角形
 作AH⊥PD于H,則DE⊥AH
∴AH⊥平面PDE
又∵PA=AD=2
∴AH=
2

即點A到平面PDE的距離為
2
.  
(2)取PA的中點為F,連接BF,HF
∵F,H分別是PA,PD的中點
∴在△PAD內(nèi),HF∥AD且HF=
1
2
AD

又∵EB∥AD且EB=
1
2
AD

∴EB∥HF且EB=HF
∴四邊形FHEB為平行四邊形
∴BF∥EH且EH⊆面PDE
∴BF∥平面PDE.
(3)設(shè)AB∩DE=M,連PM,作HO⊥PM于O,連AO
∵AH⊥面PDM,且PM⊆面PDM
∴AH⊥PM
又∵HO⊥PM
∴PM⊥面AOH,且AO⊆面AOH
∴PM⊥AO
∴∠AOH為所求二面角的平面角,
∵AO=
4
5
5

sin∠AOH=
AH
AO
=
10
4

∠AOH=arcsin
10
4

故平面PDE與平面PAB所成的不大于直二面角的二面角的大小arcsin
10
4
點評:本題主要考查點到面的距離,線面平行的證明及二面角大小的求法,還是有一定的難度.
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已知如圖四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,PG⊥平面ABC,垂足G在AD上,且AG=
1
3
GD,GB⊥GC.GB=GC=2,PG=4
,E是BC的中點.
(1)求證:PC⊥BG;
(2)求異面直線GE與PC所成角的余弦值;
(3)若F是PC上一點,且DF⊥GC,求
CF
CP
的值.

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如圖四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=BC=1,AB=,F(xiàn)是BC的中點.
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(2)試在線段PD上確定一點G,使CG∥平面PAF,并求三棱錐A-CDG的體積.

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已知如圖四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,PG⊥平面ABC,垂足G在AD上,且AG=GD,GB⊥GC,GB=GC=2,PC=4,E是BC的中點.
(Ⅰ)求證:PC⊥BG;
(Ⅱ)求異面直線GE與PC所成角的余弦值;
(Ⅲ)若F是PC上一點,且DF⊥GC,求的值。

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已知如圖四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,PG⊥平面ABC,垂足G在AD上,且,E是BC的中點.
(1)求證:PC⊥BG;
(2)求異面直線GE與PC所成角的余弦值;
(3)若F是PC上一點,且的值.

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