Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)．若PA=AD=3，CD=

6

．
（1）求證：AF∥平面PCE；
（2）求點(diǎn)F到平面PCE的距離；
（3）求直線FC平面PCE所成角的大小．

Answer 1

分析：解法一：
（1）根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知：需在平面PCE中尋找一條平行于AF的直線，平行主要依據(jù)中位線和中點(diǎn)條件，或者是特殊的四邊形，三角形等． 此題中取PC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，又由F為PD中點(diǎn)，易證四邊形AEGF是平行四邊形．
（2）在立體幾何中，求點(diǎn)到平面的距離是一個(gè)常見(jiàn)的題型，同時(shí)求直線到平面的距離、平行平面間的距離及多面體的體積也常轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離．本題采用的是“找垂面法”：找（作）出一個(gè)過(guò)該點(diǎn)的平面與已知平面垂直，然后過(guò)該點(diǎn)作其交線的垂線，則得點(diǎn)到平面的垂線段．因?yàn)镋G⊥平面PCD，所以平面PCD內(nèi)，過(guò)F作FH⊥PC于H，由于平面PCD∩平面PCE=PC，則FH的長(zhǎng)就是點(diǎn)F到平面PCE的距離．
（3）線面角大小的度量關(guān)鍵在于作出垂直于面的垂線，此題中由（2）可知：∠FCH為直線FC與平面PCE所成的角．
解法二：
分別以AB、AD、AP為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），E（

6

2

，0，0），F(xiàn)（0，

3

2

，

3

2

），C（

6

，3，0），這種解法的好處就是：（1）解題過(guò)程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對(duì)位置的有關(guān)定理，因?yàn)檫@些可以用向量方法來(lái)解決．（2）即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出，因?yàn)橹恍璁媯�(gè)草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點(diǎn)的位置即可．
（1）取PC的中點(diǎn)G，連接EG，則(

6

2

，

3

2

，

3

2

)．，因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

AF

=(0，

3

2

，

3

2

)，

EG

=(0，

3

2

，

3

2

)，則

AF

∥

EG

，即AF∥EG．
（2）設(shè)平面PCE的法向量為

n

=(x，y，z)，

EP

=(-

6

2

，0，3)，

EC

=(

6

2

，3，0)．，可得：

n

=(

6，

-1，1)
（3）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

FC

=(

6

，

3

2

，-

3

2

)，由向量的數(shù)量積運(yùn)算可以求得：直線FC與平面PCE所成角的大小．

解答：解：法一：
（I）取PC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，又由F為PD中點(diǎn)，
則FG∥

1

2

CD．
又由已知有AE∥

1

2

CD，∴FG∥AE．
∴四邊形AEGF是平行四邊形．
∴AF∥EG．又AF平面PCE，EG⊆平面PCE．
∴AF∥平面PCE；（5分）
（II）∵PA⊥平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD
由ABCD是矩形有CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD
∴AF⊥CD，又PA=AD=3，F(xiàn)是PD的中點(diǎn)
∴AF⊥PD
∵PD∩CD=D
∴AF⊥平面PCD
由EG∥AF，
∴EG⊥平面PCD
∴平面PCD內(nèi)，過(guò)F作FH⊥PC于H
由于平面PCD∩平面PCE=PC，
則FH的長(zhǎng)就是點(diǎn)F到平面PCE的距離（8分）
由已知可得PD=3

2

，PF=

3

2

2

，PC=2

6

由于CD⊥平面PAD
∴∠CPD=30°
∴FH=

1

2

PF=

3

4

2

∴點(diǎn)F到平面PCE的距離為

3

4

2

；（10分）
（III）由（II）知∠FCH為直線FC與平面PCE所成的角
.在Rt△CDF中，CD=

6

，F(xiàn)D=

3

2

2

∴FC=

CD2+FD2

=

42

2

∴sinFCH=

FH

FC

=

21

14

∴直線FC與平面PCE所成角的大小為arcsin

21

14

．（14分）
法二：
如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz
A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），
E（

6

2

，0，0），F(xiàn)（0，

3

2

，

3

2

），C（

6

，3，0）（2分）
（I）取PC的中點(diǎn)G，連接EG，
則(

6

2

，

3

2

，

3

2

)．∵

AF

=(0，

3

2

，

3

2

)，

EG

=(0，

3

2

，

3

2

)
∴

AF

∥

EG

即AF∥EG又AF平面PCE，EG⊆平面PCE
∴AF∥平面PCE．（6分）
（II）設(shè)平面PCE的法向量為

n

=(x，y，z)，

EP

=(-

6

2

，0，3)，

EC

=(

6

2

，3，0)．

n • EP =0 n • EC =0.

即

- 6 2 x+3z=0 6 2 x+3y=0.

取y=-1，得

n

=(

6，

-1，1)
又

PF

=(0，

3

2

，-

3

2

)故點(diǎn)F到平面PCE的距離為
d=

PF • n

| n |

=

|- 3 2 - 3 2 |

2 2

=

3 2

4

．（10分）
（III）

FC

=(

6

，

3

2

，-

3

2

)，
|cos＜

FC，

n

＞|=

| FC • n |

| FC |•| n |

=

3

21 2 ×2 2

=

21

14

．
∴直線FC與平面PCE所成角的大小為arcsin

21

14

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，線面關(guān)系、點(diǎn)到面的距離等基本知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力．