Question

6．△ABC滿足BA=BC=3$\sqrt{2}$，∠ABC=120°，D在AC上，且∠DBC=30°，若$\overrightarrow{BD}$=λ₁$\overrightarrow{BC}$+λ₂$\overrightarrow{BA}$，求λ₁+2λ₂．

Answer 1

分析 畫出圖形，根據(jù)條件可以得到∠ABD=90°，∠BAD=30°，然后對$\overrightarrow{BD}={λ}_{1}\overrightarrow{BC}+{λ}_{2}\overrightarrow{BA}$的兩邊分別乘以向量$\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{BA}$，然后進行向量數(shù)量積的運算便可得到關(guān)于λ₁，λ₂的二元一次方程組，解出λ₁，λ₂從而便可得出λ₁+2λ₂．

解答 解：如圖，根據(jù)條件得，∠ABD=90°，∠BAD=30°；

∴BD=AB•tan30°=3$\sqrt{2}$$•\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{6}$；
∴在$\overrightarrow{BD}={λ}_{1}\overrightarrow{BC}+{λ}_{2}\overrightarrow{BA}$兩邊分別乘以$\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{BA}$得：$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{BC}={λ}_{1}{\overrightarrow{BC}}^{2}+{λ}_{2}\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}\\{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{BA}={λ}_{1}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}+{λ}_{2}{\overrightarrow{BA}}^{2}}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{6}•3\sqrt{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}=18{λ}_{1}-9{λ}_{2}}\\{0=-9{λ}_{1}+18{λ}_{2}}\end{array}\right.$；
解得，${λ}_{1}=\frac{2}{3}，{λ}_{2}=\frac{1}{3}$；
∴${λ}_{1}+2{λ}_{2}=\frac{4}{3}$．

點評 考查向量數(shù)量積的運算及其計算公式，向量垂直的充要條件，以及正切函數(shù)的定義．