Question

15．求函數(shù)f（x）=$\frac{sin\frac{5}{2}x}{2sin\frac{x}{2}}$-$\frac{1}{2}$的值域．

Answer 1

分析 先將函數(shù)式化為f（x）=2（cosx+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{9}{8}$的形式，再結合cosx的范圍，求得函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：f（x）=$\frac{sin\frac{5}{2}x}{2sin\frac{x}{2}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{sin\frac{5x}{2}-sin\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}}$
=$\frac{1}{2sin\frac{x}{2}}$•[sin（$\frac{3x}{2}$+x）-sin（$\frac{3x}{2}$-x）]
=$\frac{1}{2sin\frac{x}{2}}$•2•cos$\frac{3x}{2}$•sinx，
=2•cos$\frac{x}{2}$•cos$\frac{3x}{2}$=cos2x+cosx
=2cos²x+cosx-1
=2（cosx+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{9}{8}$，所以，
①當cosx=-$\frac{1}{4}$時，函數(shù)f（x）取得最小值-$\frac{9}{8}$；
②當cosx=1時，函數(shù)f（x）取得最大值2，
故函數(shù)f（x）的值域為：[-$\frac{9}{8}$，2]．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換，涉及兩角和差的三角函數(shù)，倍角公式，以及運用配方法求函數(shù)最值，屬于中檔題．