Question

6．已知c＞0，設(shè)p：函數(shù)y=lg[（1-c）x-1]在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，q：不等式x+|x-2c|＞1的解集為R，若“p∨q”為真，“p∧q”為假，求實數(shù)c的范圍．

Answer 1

分析 若“p∨q”為真，“p∧q”為假，則p真q假或p假q真，進而可得答案．

解答 解：若命題p為真；
即函數(shù)y=lg[（1-c）x-1]在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，
則$\left\{\begin{array}{l}1-c＞0\\ c＞0\end{array}\right.$
解得：0＜c＜1．
設(shè)$f（x）=x+|x-2c|=\left\{\begin{array}{l}2x-2c，x≥2c\\ 2c，x＜2c\end{array}\right.$
∴f（x）的最小值為2c．
若命題q為真，則2c＞1，
∴$c＞\frac{1}{2}$，
∵“p或q”為真，且“p且q為假”，
∴p真q假或p假q真，
若p真q假，則c的范圍是$（0，\frac{1}{2}）$；
若p假q真，則c的范圍是[1，+∞），
綜上可得：c的范圍是$（0，\frac{1}{2}）$∪[1，+∞）．

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復合命題，復合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)恒成立問題，難度中檔．