Question

14．函數(shù)y=x+2cosx在[0，π]上的最小值為$\frac{5π}{6}$-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 可先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性求最值．

解答 解：y′=1-2sinx=0，得x=$\frac{π}{6}$或x=$\frac{5π}{6}$，
故y=x+2cosx在區(qū)間[0，$\frac{π}{6}$]上是增函數(shù)，
在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上是減函數(shù)，在[$\frac{5π}{6}$，π]是增函數(shù)．
又x=$\frac{5π}{6}$時(shí)，y=$\frac{5π}{6}$+2cos$\frac{5π}{6}$=$\frac{5π}{6}$-$\sqrt{3}$，
x=0時(shí)，y=2＞$\frac{5π}{6}$-$\sqrt{3}$，
所以最小值為：$\frac{5π}{6}$-$\sqrt{3}$，
故答案為：$\frac{5π}{6}$-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性求最值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、三角函數(shù)求值等，難度一般．