Question

【題目】春節(jié)期間爆發(fā)的新型冠狀病毒（COVID-19）是新中國(guó)成立以來感染人數(shù)最多的一次疫情.一個(gè)不知道自己已感染但處于潛伏期的甲從疫區(qū)回到某市過春節(jié)，回到家鄉(xiāng)后與朋友乙、丙、丁相聚過，最終乙、丙、丁也感染了新冠病毒.可以肯定的是乙受甲感染的，丙是受甲或乙感染的，假設(shè)他受甲和受乙感染的概率分別是和.丁是受甲、乙或丙感染的，假設(shè)他受甲、乙和丙感染的概率分別是、和.在這種假設(shè)之下，乙、丙、丁中直接受甲感染的人數(shù)為.

（1）求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）該市在發(fā)現(xiàn)在本地出現(xiàn)新冠病毒感染者后，迅速采取應(yīng)急措施，其中一項(xiàng)措施是各區(qū)必須每天及時(shí)，上報(bào)新增疑似病例人數(shù).區(qū)上報(bào)的連續(xù)天新增疑似病例數(shù)據(jù)是“總體均值為，中位數(shù)”，區(qū)上報(bào)的連續(xù)天新增疑似病例數(shù)據(jù)是“總體均值為，總體方差為”.設(shè)區(qū)和區(qū)連續(xù)天上報(bào)新增疑似病例人數(shù)分別為和，和分別表示區(qū)和區(qū)第天上報(bào)新增疑似病例人數(shù)（和均為非負(fù)）.記，.

①試比較和的大小；

②求和中較小的那個(gè)字母所對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)有多少組？

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）①②組

【解析】

（1）記事件“丙受甲感染”，事件“丁受甲感染”，則，，的取值為，，再列出的分布列并求期望.

（2）（i）對(duì)于區(qū)，根據(jù)“總體均值為，總體方差為”，有，再根據(jù)是非負(fù)整數(shù)，得到，從而確定，同理對(duì)于區(qū)，根據(jù)“總體均值為，中位數(shù)”，確定.（ii）當(dāng)時(shí)，只有兩種組合，一是一個(gè)是，五個(gè)是或，一個(gè)是；二是一個(gè)是，一個(gè)是或，一個(gè)是或，其余是，分別求得組數(shù)再求和.

（1）記事件“丙受甲感染”，事件“丁受甲感染”，則，

的取值為

所以的分布列為

	1	2	3
	0.32	0.56	0.12

（2）（i）對(duì)于區(qū)，由知，

，因?yàn)?/span>是非負(fù)整數(shù)，

所以，即，所以

當(dāng)中有一個(gè)取，有一個(gè)取，其余取時(shí)，

對(duì)于區(qū)，當(dāng)，，時(shí)，滿足“總體均值為，中位數(shù)”，此時(shí)，

所以

（ii）當(dāng)時(shí)，只有兩種情況：

①有一個(gè)是，有五個(gè)是或，有一個(gè)是；

②有一個(gè)是，有一個(gè)是或，有一個(gè)是或，其余是.

對(duì)于①，共有組

對(duì)于②，共有組

故共有組