Question

【題目】已知函數(shù).（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程，并討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，，求整數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】(1)；在上單調(diào)遞增；(2)2.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由點(diǎn)斜式即可求得切線方程；對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，判斷的單調(diào)性；

（2）對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，對(duì)函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍即可.

（1）當(dāng)時(shí)，，；

容易知，

故可得切線方程為；

此時(shí)又因?yàn)?/span>，令，解得，

故在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，

故，

故在上單調(diào)遞增；

（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，

即可，恒成立.

又.

由（1）可知在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，

故.

①當(dāng)，即時(shí)，，故在單調(diào)遞增.

故.

若滿足題意，只需，解得.

故此時(shí)；

②當(dāng)，即時(shí)，

因?yàn)?/span>在區(qū)間單調(diào)遞增，且，

⒈當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞增，

要滿足題意只需，解得,

故此時(shí)只需.

⒉當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>在區(qū)間單調(diào)遞增，

故一定存在，，

且使得在區(qū)間單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.

故

要滿足題意，只需，

即.結(jié)合，

可得只需恒成立即可.

整理得只需在時(shí)恒成立即可.

顯然是關(guān)于且開口向下的二次函數(shù)，

無(wú)法滿足題意.

綜上所述：滿足題意的范圍是.

又因?yàn)?/span>，且，

故滿足題意的整數(shù)的最大值為.