Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知M（-a，0），N（a，0），其中a∈R，若直線l上有且只有一點(diǎn)P，使得|PM|+|PN|=10，則稱直線l為“黃金直線”，點(diǎn)P為“黃金點(diǎn)”．由此定義可判斷以下說法中正確的是

 

①當(dāng)a=7時(shí)，坐標(biāo)平面內(nèi)不存在黃金直線；
②當(dāng)a=5時(shí)，坐標(biāo)平面內(nèi)有無數(shù)條黃金直線；
③當(dāng)a=3時(shí)，黃金點(diǎn)的軌跡是個(gè)橢圓；
④當(dāng)a=0時(shí)，坐標(biāo)平面內(nèi)有且只有1條黃金直線．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①當(dāng)a=7時(shí)，|PM|+|PN|≥|MN|=14＞10，因此不存在黃金直線；
②當(dāng)a=5時(shí)，|PM|+|PN|=10=|MN|，因此線段MN上的點(diǎn)都滿足上式，可得坐標(biāo)平面內(nèi)有無數(shù)條黃金直線；
③當(dāng)a=3時(shí)，|PM|+|PN|=10＞6=|MN|，黃金點(diǎn)的軌跡是個(gè)橢圓；
④當(dāng)a=0時(shí)，點(diǎn)M與N重合為（0，0），|PM|+|PN|=10=2|PM|，點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心、5為半徑的圓上，即可判斷出．

解答： 解：①當(dāng)a=7時(shí)，|PM|+|PN|≥|MN|=14＞10，因此坐標(biāo)平面內(nèi)不存在黃金直線；
②當(dāng)a=5時(shí)，|PM|+|PN|=10=|MN|，因此線段MN上的點(diǎn)都滿足上式，因此坐標(biāo)平面內(nèi)有無數(shù)條黃金直線，正確；
③當(dāng)a=3時(shí)，|PM|+|PN|=10＞6=|MN|，黃金點(diǎn)的軌跡是個(gè)橢圓，正確；
④當(dāng)a=0時(shí)，點(diǎn)M與N重合為（0，0），|PM|+|PN|=10=2|PM|，點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心、5為半徑的圓上，因此坐標(biāo)平面內(nèi)有且無數(shù)條黃金直線．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評：本題考查了新定義“黃金直線”、“黃金點(diǎn)”、橢圓的定義、圓的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．