Question

在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB．
（1）求角C的大��；
（2）求sinA•sinB的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡，整理后得到關(guān)系式，利用余弦定理表示出cosC，將得出的關(guān)系式代入求出cosC的值，即可確定出C的度數(shù)；
（2）由C的度數(shù)求出A+B的度數(shù)，用A表示出B，代入所求式子中利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)A的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可確定出所求式子的最大值．

解答： 解：（1）由正弦定理化簡（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB，得：（a-c）（a+c）=b（a-b），
整理得：a²-c²=ab-b²，即a²+b²-c²=ab，
由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∵C為三角形內(nèi)角，
∴C=

π

3

；
（2）由（1）得A+B=

2π

3

，即B=

2π

3

-A，
則sinA•sinB=sinAsin（

2π

3

-A）
=sinA（

3

2

cosA+

1

2

sinA）
=

3

2

sinAcosA+

1

2

sin²A
=

3

4

sin2A+

1-cos2A

4

=

1

2

sin（2A-

π

6

）+

1

4

，
∵A∈（0，

2π

3

），∴2A-

π

6

∈（-

π

6

，

7π

6

），
∴當(dāng)2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

時，sinA•sinB有最大值

3

4

．

點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．