【題目】已知的三個頂點(diǎn),,,其外接圓為.

(1)求的面積;

(2)若直線過點(diǎn),且被截得的弦長為2,求直線的方程;

(3)對于線段上的任意一點(diǎn),若在以為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn),使得點(diǎn)的線段的中點(diǎn),求的半徑的取值范圍.

【答案】(1);(2);(3).

【解析】

試題分析:(1)借助題設(shè)條件直接求解;(2)借助題設(shè)待定直線的斜率,再運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式方程求解;(3)借助題設(shè)建立關(guān)于的不等式,運(yùn)用分析推證的方法進(jìn)行求解.

試題解析:

(1)的面積為2;

(2)線段的垂直平分線方程為,線段的垂直平分線方程為,

所以外接圓圓心,半徑,圓的方程為,

設(shè)圓心到直線的距離為,因為直線被圓截得的弦長為2,所以.

當(dāng)直線垂直于軸時,顯然符合題意,即為所求;

當(dāng)直線不垂直于軸時,設(shè)直線方程為,則,解得,

綜上,直線的方程為.

(3)直線的方程為,設(shè),,

因為點(diǎn)是線段的中點(diǎn),所以,又,都在半徑為的圓上,

所以

因為該關(guān)于的方程組有解,即以為圓心,為半徑的圓與以為圓心,為半徑的圓有公共點(diǎn),所以,

,所以成立.

上的值域為,所以.

又線段與圓無公共點(diǎn),所以成立,即.

故圓的半徑的取值范圍為.

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