Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)M在橢圓上，且它的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B（0，

3

），且

AB

=2

AM

．
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于另一點(diǎn)N，若線段AN的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)（

6

13

，0），求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由

AB

=2

AM

可知：M是AB的中點(diǎn)，由A（a，0），B（0，

3

），點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，即可得出M，代入橢圓的方程即可得出b；
（2）A（2，0），設(shè)l的方程為y=k（x-2），代入橢圓方程解得N(

8k2-2

4k2+1

，

-4k

4k2+1

)，可得線段AN的中點(diǎn)為(

8k2

4k2+1

，

-2k

4k2+1

)，利用斜率計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：（1）由

AB

=2

AM

可知：M是AB的中點(diǎn)，
∵A（a，0），B（0，

3

），點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，
∴a=2，M(1，

3

2

)，將點(diǎn)M坐標(biāo)代入橢圓方程得b²=1，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
（2）A（2，0），設(shè)l的方程為y=k（x-2），代入橢圓方程解得N(

8k2-2

4k2+1

，

-4k

4k2+1

)，
線段AN的中點(diǎn)為(

8k2

4k2+1

，

-2k

4k2+1

)，
∴

-2k 4k2+1

8k2 4k2+1 - 3 16

=-

1

k

，
化為k2=

1

9

，
解得k=±

1

3

，
∴直線l的方程為y=±

1

3

(x-2)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．