Question

已知O為坐標原點，A（0，1），B(3，4)，

OM

=t1

OA

+t2

AB

．
（1）求點M在第二象限或第三象限的充要條件；
（2）求證：當t₁=1時，不論t₂為何實數(shù)，A、B、M三點都共線；
（3）若t₁=2，求當點M為∠AOB的平分線上點時t₂的值．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件，得

OM

=t1(0，1)+t2(3，3)=（3t₂，t₁+3t₂），由此能求出點M在第二象限或第三象限的充要條件．
（2）由

OM

=t1

OA

+t2

AB

，知

OM

=t1

OA

+t2(

OB

-

OA

)=(t1-t2)

OA

+t2

OB

，由此能證明A，B，M三點共線．
（3）由t₁=2

OM

=(t1-t2)

OA

+t2

OB

OM

=(2-t2)

OA

+5t2

OB

| OB |

，能求出當點M為∠AOB的平分線上點時t₂的值．

解答：解：（1）由A（0，1），B(3，4)，

OM

=t1

OA

+t2

AB

，
得

OM

=t1(0，1)+t2(3，3)=（3t₂，t₁+3t₂），
故點M在第二象限或第三象限的充要條件為t₂＜0且t₁+3t₂≠0
（2）∵

OM

=t1

OA

+t2

AB

，
∴

OM

=t1

OA

+t2(

OB

-

OA

)=(t1-t2)

OA

+t2

OB

，
∵t₁=1，
∴A，B，M三點共線；．
（3）∵t₁=2

OM

=(t1-t2)

OA

+t2

OB

，
∴

OM

=(2-t2)

OA

+5t2

OB

| OB |

，
∵點M為∠ABC的平分線上的點，
∴2-t₂=5t₂，
∴t2=

1

3

．

點評：本題考查點M在第二象限或第三象限的充要條件的求法，考查A、B、M三點共線的證明，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．