Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)既有極大值，又有極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析;（2）且且．

【解析】試題分析：把值帶入后對(duì)求導(dǎo)，分子提取公因式是重要的一步，由于的正負(fù)不清楚，所以設(shè)為二次求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)的單調(diào)性及零點(diǎn)，最后根據(jù)的符號(hào)說(shuō)明單調(diào)性；對(duì)求導(dǎo)，研究因式，得，這是非常智慧的一步變形．針對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究單調(diào)性求出極值，模擬圖象得出解答.

試題解析：（1），

由知，

設(shè)，

則， ，

∴，∴在上單調(diào)遞增，觀察知，

∴當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增．

（2）， ，

由，得．

設(shè)，則，由，得．

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增．

∴．

又時(shí)， 時(shí)，

∴，這是必要條件．

檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)， 既無(wú)極大值，也無(wú)極小值；當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)， 只有一個(gè)極值點(diǎn)，舍去；當(dāng)時(shí)，則，則．

綜上，符合題意的的范圍為且且．