【題目】已知函數.
(1)當時,求在區(qū)間上的最值;
(2)討論函數的單調性;
(3)當時,有恒成立,求的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);
(Ⅱ)見解析;
(Ⅲ)(﹣1,0)
【解析】
(1)求出函數在區(qū)間上的極值和端點值,比較后可得最值;(2)根據的不同取值進行分類討論,得到導函數的符號后可得函數的單調性;(3)當時,求出函數的最小值為,故問題轉化為當時恒成立,整理得到關于的不等式,解不等式可得所求范圍.
(1)當時,,
∴.
∴當時,單調遞減;當時,單調遞增.
∴當時,函數取得極小值,也為最小值,且最小值為.
又,,
∴.
所以函數在區(qū)間上的最小值為,最大值為.
(2)由題意得,.
①當,即時,恒成立,
∴在上單調遞減.
②當時,恒成立,
∴在上單調遞增.
③當時,,
由得,或(舍去),
∴在上單調遞減,在上單調遞增.
綜上可得,當,在上單調遞增;
當時,在上單調遞減,在單調遞增;
當時,在上單調遞減.
(3)由(2)可得,當時,,
若不等式恒成立,則只需,
即,
整理得,
解得,
∴,
又,
∴.
∴實數的取值范圍為.
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【題目】如圖,ABCD為直角梯形,∠C=∠CDA=90°,AD=2BC=2CD=2,P為平面ABCD外一點,且PB⊥BD.
(1)求證:PA⊥BD;
(2)若直線l過點P,且直線l∥直線BC,試在直線l上找一點E,使得直線PC∥平面EBD;
(3)若PC⊥CD,PB=4,求四棱錐P﹣ABCD的體積.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】世界那么大,我想去看看,處在具有時尚文化代表的大學生們旅游動機強烈,旅游可支配收入日益增多,可見大學生旅游是一個巨大的市場.為了解大學生每年旅游消費支出(單位:百元)的情況,相關部門隨機抽取了某大學的名學生進行問卷調查,并把所得數據列成如下所示的頻數分布表:
組別 | |||||
頻數 |
(Ⅰ)求所得樣本的中位數(精確到百元);
(Ⅱ)根據樣本數據,可近似地認為學生的旅游費用支出服從正態(tài)分布,若該所大學共有學生人,試估計有多少位同學旅游費用支出在元以上;
(Ⅲ)已知樣本數據中旅游費用支出在范圍內的名學生中有名女生, 名男生,現想選其中名學生回訪,記選出的男生人數為,求的分布列與數學期望.
附:若,則,
, .
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某高校共有15000人,其中男生10500人,女生4500人,為調查該校學生每周平均體育運動時間的情況,采用分層抽樣的方法,收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數據(單位:小時)
(1)應收集多少位女生樣本數據?
(2)根據這300個樣本數據,得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數據分組區(qū)間為:.估計該校學生每周平均體育運動時間超過4個小時的概率.
(3)在樣本數據中,有60位女生的每周平均體育運動時間超過4個小時.請完成每周平均體育運動時間與性別的列聯表,并判斷是否有的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”.
附:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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【題目】如圖所示,ABCD是一塊邊長為7米的正方形鐵皮,其中ATN是一半徑為6米的扇形,已經被腐蝕不能使用,其余部分完好可利用.工人師傅想在未被腐蝕部分截下一個有邊落在BC與CD上的長方形鐵皮,其中P是弧TN上一點.設,長方形的面積為S平方米.
(1)求關于的函數解析式;
(2)求的最大值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為的扇形,小區(qū)的兩個出入口設置在點及點處,且小區(qū)里有一條平行于的小路。
(1)已知某人從沿走到用了分鐘,從沿走到用了分鐘,若此人步行的速度為每分鐘米,求該扇形的半徑的長(精確到米)
(2)若該扇形的半徑為,已知某老人散步,從沿走到,再從沿走到,試確定的位置,使老人散步路線最長。
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,過點P作圓O的割線PBA與切線PE,E為切點,連接AE、BE,∠APE的平分線與AE、BE分別交于點C、D,其中∠AEB=30°.
(1)求證:
(2)求∠PCE的大小.
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