Question

平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以頂點A為端點的三條棱，兩兩夾角都為60°，且AB=2，AD=1，AA₁=3，M、N分別為B₁B，B₁C₁的中點，則MN與AC所成角的余弦值為(    )

A.                 B.             C.                D.

Answer 1

B

解法一:設(shè)=a,=b,=c.則:=a+b.

=-=++-(+)

=+-=c+b-c=b+c.

·=(a+b)·(b+c)=(b²+a·b+b·c+a·c)

=(1+2×1×cos60°+1×3cos60°+2×3cos60°)

=.

||=.

||=.

∴cos＜,＞=.

解法二：連結(jié)BC₁、AD₁則四邊形ABC₁D₁是平行四邊形，∴AD₁∥BC₁,

又BC₁，∴AD₁∥,

則AD與AC所成的角∠CAD₁就是與AC所成的角.

連結(jié)CDA₁B，則CD₁A₁B.

在△ACD₁中，AC²=AB²+BC²-2AB·BCcos(180°-60°)

=2²+1²-2×2×1×(-)=7.

AD₁²=AD²+DD₁²-2AD·DD₁cos(180°-60°)

=1²+3²-2×1×3×(-)=13.

CD₁²=A₁B²=AB²+AA₁²-2AA₁·ABcos60°=2²+3²-2×2×3×=7.

∴cosCAD₁=.