已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，短軸的一個端點到右焦點的距離為
3
，直線l：y=kx+m交橢圓于不同的兩點A，B．
（1）求橢圓的方程；
（2）若坐標(biāo)原點O到直線l的距離為
3
2
，求△AOB面積的最大值．
分析：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意求出a，b的值，從而得到所求橢圓的方程．
（2）分類討論，將直線方程代入橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合基本不等式，即可求△AOB面積的最大值．
解答：解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意，離心率為
6
3
，短軸的一個端點到右焦點的距離為
3
，
∴
c
a
=
6
3
，a=
3

∴c=
2
，∴b=1，∴所求橢圓方程
x2
3
+y2=1；
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．
①當(dāng)AB⊥x軸時，|AB|=
3
．
②當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．
∵坐標(biāo)原點O到直線l的距離為
3
2
，∴
|m|
1+k2
=
3
2
，∴得m2=
3
4
（k2+1）．
把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，
∴x1+x2=-
6km
3k2+1 
，x1x2=
3m2-3 
3k2+1 
．
∴|AB|2=（1+k2）（x2-x1）2=3+
12k2
9k4+6k2+1
=3+
12
9k2+
1
k2
+6
≤3+
12
2×3+6
=4（k≠0）
當(dāng)且僅當(dāng)9k2=
1
k2 
，即k=±
3
3
時等號成立．
當(dāng)k=0時，|AB|=
3
，
綜上所述|AB|max=2．
∴當(dāng)|AB|最大時，△AOB面積取最大值S=
1
2
×2×
3
2
=
3
2
．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，求|AB|的最大值是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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