Question

如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁C₁C是菱形，AC₁與A₁C交于點(diǎn)O，E是AB的中點(diǎn)．求證：
（1）OE∥平面BCC₁B₁；
（2）若AC₁⊥A₁B，求證：AC₁⊥BC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）首先通過(guò)連接對(duì)角線得到中點(diǎn)，進(jìn)一步利用中位線，得到線線平行，進(jìn)一步利用線面平行的判定定理，得到結(jié)論．
（2）利用菱形的對(duì)角線互相垂直，進(jìn)一步利用線面垂直的判定定理，得到線面垂直，最后轉(zhuǎn)化成線線垂直．

解答： 證明：（1）連結(jié)BC₁．
∵側(cè)面AA₁C₁C是菱形，AC₁與A₁C交于點(diǎn)O
∴O為AC₁的中點(diǎn)
∵E是AB的中點(diǎn)
∴OE∥BC₁；     
∵OE?平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁
∴OE∥平面BCC₁B₁
（2）∵側(cè)面AA₁C₁C是菱形
∴AC₁⊥A₁C
∵AC₁⊥A₁B，A₁C∩A₁B=A₁，A₁C?平面A₁BC，A₁B?平面A₁BC
∴AC₁⊥平面A₁BC
∵BC?平面A₁BC
∴AC₁⊥BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，屬于基礎(chǔ)題型．