Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，其中a∈R．
（1）若f（x）在x=3處取得極值，求常數(shù)a的值；
（2）若f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x），由x=3取得極值得到f'（3）=0，求解得到a的值即可；
（2）因為函數(shù)在（-∞，0）上為增函數(shù)令f'（x）=0得到函數(shù)的駐點，由a的取值范圍研究函數(shù)的增減性得到函數(shù)為增函數(shù)時a的范圍即可．
解答：解：（1）f'（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-a）（x-1）．
因f（x）在x=3取得極值，所以f'（3）=6（3-a）（3-1）=0．解得a=3．
經(jīng)檢驗知當(dāng)a=3時，x=3為f（x）為極值點．
（2）令f'（x）=6（x-a）（x-1）=0得x₁=a，x₂=1．
當(dāng)a＜1時，若x∈（-∞，a）∪（1，+∞），則f'（x）＞0，所以f（x）在（-∞，a）和（1，+∞）上為增
函數(shù)，故當(dāng)0≤a＜1時，f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)．
當(dāng)a≥1時，若x∈（-∞，1）∪（a，+∞），則f'（x）＞0，所以f（x）在（-∞，1）和（a，+∞）上為增函
數(shù)，從而f（x）在（-∞，0]上也為增函數(shù)．
綜上所述，當(dāng)a∈[0，+∞）時，f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)．
點評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值及單調(diào)性的運用能力．