【題目】已知二次函數(shù)的值域?yàn)?/span>.
(1)判斷此函數(shù)的奇偶性,并說明理由;
(2)判斷此函數(shù)在的單調(diào)性,并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論;
(3)求出在上的最小值,并求的值域.
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析
【解析】
(1)根據(jù)題意,由二次函數(shù)的性質(zhì)求出f(x)的對稱軸,結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義分析可得結(jié)論;
(2)根據(jù)題意,由二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得a>0,設(shè)x1<x2,由作差法分析可得結(jié)論;
(3)根據(jù)題意,分析可得ac=4,按對稱軸x對a分情況討論,由二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案.
解:(1)由題意知,二次函數(shù)f(x)=ax2﹣4x+c,其對稱軸為x,
則f(x)的圖象不關(guān)于y軸對稱,也不關(guān)于點(diǎn)(0,0)對稱,
故f(x)是非奇非偶函數(shù);
(2)函數(shù)在[,+∞)上為增函數(shù),
證明:二次函數(shù)f(x)=ax2﹣4x+c的值域?yàn)?/span>[0,+∞),則有a>0,
設(shè)x1<x2,
f(x1)﹣f(x2)=(ax12﹣4x1+c)﹣(ax22﹣4x2+c)=a(x12﹣x22)﹣4(x1﹣x2)=(x1﹣x2)[(x1+x2)a﹣4],
又由x1<x2,則(x1﹣x2)<0,(x1+x2)a﹣4>0,
則f(x1)﹣f(x2)<0,
即函數(shù)f(x)在[,+∞)上為增函數(shù);
(3)二次函數(shù)f(x)=ax2﹣4x+c的值域?yàn)?/span>[0,+∞),
則有a>0且16﹣4ac=0,變形可得ac=4,
f(x)=ax2﹣4x+c,其對稱軸為x,
又a>0,分2種情況討論:
①,1時(shí),即a>2時(shí),f(x)在[1,+∞)上遞增,
此時(shí)g(a)=f(1)=a+c﹣4=a4;
②,1時(shí),即0<a<2時(shí),此時(shí)g(a)=f()=0,
則g(a);
當(dāng)0<a≤2時(shí),g(a)=0,當(dāng)a>2時(shí),g(a)=a4≥24=0,
綜合可得:y=g(a)的值域?yàn)?/span>[0,+∞).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),;當(dāng)x∈[﹣3,﹣1]時(shí),記f(x)的最大值為m,最小值為n,則m﹣n=________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2alnx+x2﹣(a+4)x+1(a為常數(shù))
(1)若a>0,討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若對任意的 a∈(1, ),都存在 x0∈(3,4]使得不等式f(x0)+ln a+1>m(a﹣a2)+2a ln 成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在下列命題中:①兩個(gè)函數(shù)的對應(yīng)法則和值域相同,則這兩個(gè)是同一個(gè)函數(shù);②在上單調(diào)遞增,③若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,則函數(shù)的定義域?yàn)?/span>;④若函數(shù)在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),則不存在反函數(shù);⑤函數(shù)的最小值為4;⑥若關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)恒成立,則實(shí)數(shù)m的范圍是其中真命題的序號有_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知三棱錐P﹣ABC的各頂點(diǎn)都在同一球的面上,且PA⊥平面ABC,若球O的體積為 (球的體積公式為 R3 , 其中R為球的半徑),AB=2,AC=1,∠BAC=60°,則三棱錐P﹣ABC的體積為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知有限集,如果中元素滿足,就稱為“完美集”.
①集合不是“完美集”;
②若、是兩個(gè)不同的正數(shù),且是“完美集”,則、至少有一個(gè)大于2;
③二元“完美集”有無窮多個(gè);
④若,則“完美集”有且只有一個(gè),且;
其中正確的結(jié)論是________(填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , Sn=2an﹣3.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)當(dāng)a=1時(shí),判斷f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)在[0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= 與g(x)=a2lnx+b有公共點(diǎn),且在公共點(diǎn)處的切線方程相同,則實(shí)數(shù)b的最大值為( )
A.
B.
C.
D.
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