已知函數(shù)f（x）定義在正整數(shù)集上，且對于任意的正整數(shù)x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（3）=6，則f（2009）=________．

4018
分析：把f（x+2）=2f（x+1）-f（x）轉(zhuǎn)化后，得到此函數(shù)值構(gòu)成了一個(gè)等差數(shù)列，根據(jù)題意求出首項(xiàng)和公差，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出f（2009）的值．
解答：由題意知，對于任意的正整數(shù)x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），
故f（x+2）-f（x+1）=f（x+1）-f（x），
則此函數(shù)的值構(gòu)成了一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)f（1）=2，公差為=2，
∴f（2009）=2+2008×2=4018．
故答案為：4018．
點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)求值，此題通過關(guān)系式把函數(shù)值和等差數(shù)列聯(lián)系在一起，把函數(shù)求值轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，設(shè)計(jì)非常新穎，是個(gè)好題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義在（-1，1）上，對于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0．
（Ⅰ）驗(yàn)證函數(shù)f(x)=ln
1-x
1+x
是否滿足這些條件；
（Ⅱ）判斷這樣的函數(shù)是否具有奇偶性和其單調(diào)性，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義在R上，并且對于任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x≠y時(shí)，f（x）≠f（y），x＞0時(shí)，有f（x）＞0．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）=1，解關(guān)于x的不等式f(x)-f(
1x-1
)≥2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•連云港二模）已知函數(shù)f（x）定義在正整數(shù)集上，且對于任意的正整數(shù)x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（3）=6，則f（2009）=
4018
4018
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義在區(qū)間（-1，1）上，f（
1
2
）=-1，且當(dāng)x，y∈（-1，1）時(shí)，恒有f（x）-f（y）=f（
x-y
1-xy
），又?jǐn)?shù)列{an}滿足：a1=
1
2
，an+1=
2an
1+
a
2
n
．
（I）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)；
（II）求f（an）關(guān)于n的函數(shù)解析式；
（III）令g（n）=f（an）且數(shù)列{an}滿足bn=
1
g(n)
，若對于任意n∈N+，都有b1+b2+…+bn＜t2-3t恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義在R上，對任意的x∈R，f(x+1001)=
2
f(x)
+1
，已知f（11）=1，則f（2013）=
 
．

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