已知函數(shù)f(x)定義在正整數(shù)集上,且對于任意的正整數(shù)x,都有f(x+2)=2f(x+1)-f(x),且f(1)=2,f(3)=6,則f(2009)=________.
4018
分析:把f(x+2)=2f(x+1)-f(x)轉(zhuǎn)化后,得到此函數(shù)值構(gòu)成了一個(gè)等差數(shù)列,根據(jù)題意求出首項(xiàng)和公差,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出f(2009)的值.
解答:由題意知,對于任意的正整數(shù)x,都有f(x+2)=2f(x+1)-f(x),
故f(x+2)-f(x+1)=f(x+1)-f(x),
則此函數(shù)的值構(gòu)成了一個(gè)等差數(shù)列,首項(xiàng)f(1)=2,公差為
=2,
∴f(2009)=2+2008×2=4018.
故答案為:4018.
點(diǎn)評:本題考查了函數(shù)求值,此題通過關(guān)系式把函數(shù)值和等差數(shù)列聯(lián)系在一起,把函數(shù)求值轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題,設(shè)計(jì)非常新穎,是個(gè)好題.