Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點（-2，0），且不等式2x≤f（x）≤

1

2

x²+2對一切實數(shù)x都成立．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若對一切實數(shù)x∈[-1，1]，不等式f（x+1）＜f（

t

2

）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過圖象過一點得到a、b、c一關(guān)系式，觀察發(fā)現(xiàn)1≤f（1）≤1，又可的一關(guān)系式，再將b、c都有a表示．不等式x≤f（x）≤

1

2

x²+2對一切實數(shù)x都成立可轉(zhuǎn)化成兩個一元二次不等式恒成立，即可解得．
（2）由題意可得

1

4

（x+3）²＜f（

t

2

）恒成立，求得

1

4

（x+3）² 取得最大值為4，故有f（

t

2

）＞4，即

1

4

•

t2

4

+

t

2

+1＞4，由此求得t的范圍．

解答： 解：（1）根據(jù)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點（-2，0），可得4a-2b+c=0 ①，
∵不等式2x≤f（x）≤

1

2

x²+2對一切實數(shù)x都成立，∴當(dāng)x=2時也成立，即4≤4a+2b+c≤4，
∴4a+2b+c=4 ②．
由①②求得 b=1，4a+c=2，∴f（x）=ax²+x+2-4a，∴2x≤ax²+x+2-4a≤

1

2

x²+2，
即

ax2-x+2-4a≥0 (a- 1 2 )•x2+x-4a≤0

 恒成立，∴

a＞0 △=1-4a(2-4a)≤0 a- 1 2 ＜0 △′=1-4(a- 1 2 )•(-4a)≤0

．
求得a=

1

4

，∴c=2-4a=1，
∴f（x）=

1

4

x²+x+1．
（2）∵對一切實數(shù)x∈[-1，1]，不等式f（x+1）＜f（

t

2

）恒成立，即

1

4

（x+3）²＜f（

t

2

）恒成立，
由于當(dāng)x=1時，

1

4

（x+3）² 取得最大值為4，故有f（

t

2

）＞4，即

1

4

•

t2

4

+

t

2

+1＞4，即 （t+12）（t-4）＞0，
求得t＜-12，或t＞4．

點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，賦值法（特殊值法）可以使問題變得比較明朗，它是解決這類問題比較常用的方法．