Question

某蛋糕廠生產(chǎn)某種蛋糕的成本為40元/個(gè)，出廠價(jià)為60元/個(gè)，日銷售量為1000個(gè)，為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高蛋糕檔次，適度增加成本．若每個(gè)蛋糕成本增加的百分率為x （0＜x＜1），則每個(gè)蛋糕的出廠價(jià)相應(yīng)提高的百分率為0.5x，同時(shí)預(yù)計(jì)日銷售量增加的百分率為0.8x，已知日利潤(rùn)=（出廠價(jià)-成本）×日銷售量，且設(shè)增加成本后的日利潤(rùn)為y．
（Ⅰ）寫出y與x的關(guān)系式；
（Ⅱ）為使日利潤(rùn)有所增加，問x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，根據(jù)日利潤(rùn)=（出廠價(jià)-成本）×日銷售量，可求增加成本后的日利潤(rùn)函數(shù)；
（Ⅱ）要保證日利潤(rùn)有所增加，當(dāng)且僅當(dāng)

y-(60-40)×1000＞0 0＜x＜1.

，解不等式，即得保證日利潤(rùn)有所增加，投入成本增加的比例x．

解答：解：（Ⅰ）由題意，∵日利潤(rùn)=（出廠價(jià)-成本）×日銷售量
∴增加成本后的日利潤(rùn)y=[60×（1+0.5x）-40×（1+x）]×1000×（1+0.8x）（0＜x＜1），
整理得 y=2000（-4x²+3x+10）（0＜x＜1）．------------------------------（5分）
（Ⅱ）要保證日利潤(rùn)有所增加，當(dāng)且僅當(dāng)

y-(60-40)×1000＞0 0＜x＜1.

----------------------------（7分）
即 

-4x2+3x＞0 0＜x＜1.

-------------------------------------（9分）
解不等式得 0＜x＜

3

4

．
答：為保證日利潤(rùn)有所增加，投入成本增加的比例x應(yīng)滿足0＜x＜

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查函數(shù)模型的構(gòu)建與解不等式，解題的關(guān)鍵是理解題意，運(yùn)用日利潤(rùn)=（出廠價(jià)-成本）×日銷售量
，建立函數(shù)關(guān)系．