Question

已知不等式x（ax-1）＞a（x-1），其中a∈R．
（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，解不等式；
（2）若不等式在x∈R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,一元二次不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，根據(jù)一元二次不等式的解法，解得即可；
（2）原不等式可化為ax²-（a+1）x+a＞0，需要分類討論，顯然當(dāng)a=0時(shí)，不合題意，當(dāng)a＞0，△＜0，解得即可

解答： 解：（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，不等式即為x（

1

2

x-1）＞

1

2

（x-1），
即為x²-3x+1＞0，
解得x＞

3+ 5

2

，或x＜

3- 5

2

，
即不等式的解集為（

3- 5

2

，

3+ 5

2

），
（2）不等式x（ax-1）＞a（x-1）可化為：
ax²-（a+1）x+a＞0，顯然當(dāng)a=0時(shí)，不合題意，
因此應(yīng)有

a＞0 [-(a+1)]2-4a2＜0

，
解得a＞1，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次不等式的解法和二次函數(shù)的性質(zhì)，以及恒成立的問題，屬于中檔題