Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bx+c，若f（-3）=f（1），f（0）=-3．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ） 若函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+bx+c，x≤0}\\{-3-x，x＞0}\end{array}\right.$   畫出函數(shù)g（x）圖象；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）在[-3，1]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=x²+bx+c，f（-3）=f（1），f（0）=-3，帶入求b，c的值可得f（x）的解析式；
（2）求出g（x）的表達(dá)式，在畫圖象．
（3）數(shù)形結(jié)合法，根據(jù)圖象求[-3，1]的最大值和最小值．

解答 解：（1）由題意：函數(shù)f（x）=x²+bx+c滿足f（-3）=f（1），f（0）=-3．
則有：$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=9x-3b+c}\\{c=-3}\end{array}\right.$
解得：b=2，c=-3
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=x²+2x-3．
（2）由（1）可知b=2，c=-3，
函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+bx+c，x≤0}\\{-3-x，x＞0}\end{array}\right.$   
⇒g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x-3，（x≤0）}\\{-3-x，（x＞0）}\end{array}\right.$．
圖象如右圖所示：
（3）由（2）中的圖象可知：（-3，-1）是單調(diào)減區(qū)間，（-1，0）是單調(diào)增區(qū)間
（0，1）是單調(diào)減區(qū)間
則：g（1）=-4，g（-1）=-4，g（-3）=0
∴函數(shù)g（x）在[-3，1]的最大值為0，最小值為-4．

點評 本題考查了分段函數(shù)的解析式的求法和圖象的畫法，通過數(shù)形結(jié)合求解定義域范圍內(nèi)的值域問題．屬于中檔題．