Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2•3ⁿ+k（k∈R，n∈N^*）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足a_n=4(5+k)anbn，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，試比較3-16T_n與 4（n+1）b_n+1的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（I）利用遞推關(guān)系可得，n≥2 時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=4×3^n-1由{a_n}是等比數(shù)列可得a₁=S₁=6+k=4從而苛求得k=-2，代入可求通項(xiàng)公式
（II）結(jié)合（I）可求得bn=

n-1

4•3n-1

，根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)求和時(shí)可利用錯(cuò)位相減可求T_n，要比較3-16T_n 與
4（n+1）b_n+1 的大小，可通過作差法可得，4（n+1）b_n+1-（3-16T_n）=

n(n+1)

3n

-

2n+1

3n-1

=

n(n+1)-3(2n+1)

3n

通過討論n的范圍判斷兩式的大小

解答：解：（Ⅰ）由S_n=2-3ⁿ+k可得
n≥2 時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=4×3^n-1
∵{a_n}是等比數(shù)列
∴a₁=S₁=6+k=4∴k=-2，a_n=4×3^n-1
（Ⅱ）由an=4×(5+k)anbn和a_n=4×3^n-1得bn=

n-1

4•3n-1

（6分）
T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

4•3

+

2

4•32

+…+

n-2

4•3n-2

+

n-1

4•3n-1

3Tn=

1

4

+

2

4•3

+

3

4•32

+…+

n-1

4•3n-2

兩式相減可得，2Tn=

1

4

+

1

4•3

+

1

4•32

+…+

1

4•3n-2

-

n-1

4•3n-1

Tn=

1

8

+

1

8•3

+

1

8•32

+…+

1

8•3n-2

-

n-1

8•3n-1

=

3

16

-

2n+1

16•3n-1

4（n+1）b_n+1-（3-16T_n）=

n(n+1)

3n

-

2n+1

3n-1

=

n(n+1)-3(2n+1)

3n

而n（n+1）-3（2n+1）=n²-5n-3
當(dāng)n＞

5+ 37

2

或n＜

5- 37

2

＜0時(shí)，有n（n+1）＞3（2n+1）
所以當(dāng)n＞5時(shí)有3-16T_n＜4（n+1）b_n+1
那么同理可得：當(dāng)

5- 37

2

＜n＜

5+ 37

2

時(shí)有n（n+1）＜3（2n+1），所以當(dāng)1≤n≤5時(shí)有3-16T_n＞4（n+1）b_n+1
綜上：當(dāng)n＞5時(shí)有3-16T_n＜4（n+1）b_n+1；
當(dāng)1≤n≤5時(shí)有3-16T_n＞4（n+1）b_n+1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)，錯(cuò)位相減求數(shù)列的和，及通過作差比較大小等知識(shí)的綜合應(yīng)用，屬于綜合試題．