Question

2．已知在銳角△ABC中，sinC（sin²A+sin²B-sin²C）=$\sqrt{3}$sinAsinBcosC．
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）當(dāng)c=1時(shí)，求a+b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡，整理得到關(guān)系式，利用余弦定理表示出cosC，將得出關(guān)系式代入求出cosC的值，即可確定出角C的大��；
（Ⅱ）由c與sinC的值，利用正弦定理求出R的值，表示出a與b，代入a+b中，利用和差化積公式變形，利用余弦函數(shù)的值域確定出范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡得：sinC（a²+b²-c²）=$\sqrt{3}$abcosC，
整理得：2sinCabcosC=$\sqrt{3}$abcosC，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵C為銳角，
∴C=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵c=1，sinC=sin$\frac{π}{3}$，
∴由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴R=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinA，b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinB，
∵sin$\frac{5π}{12}$=sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，cos$\frac{5π}{12}$=cos（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
∴a+b=sinA+sinB=sinA+sin（$\frac{5π}{6}$-A）=2sin$\frac{5π}{12}$cos（A-$\frac{5π}{12}$）=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$cos（A-$\frac{5π}{12}$），
∵A∈（0，$\frac{5π}{6}$），∴A-$\frac{5π}{12}$∈（-$\frac{5π}{12}$，$\frac{5π}{12}$），
∴cos（A-$\frac{5π}{12}$）∈（$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，1]，
則a+b∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，以及余弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．