Question

如圖，四棱錐的底面為一直角梯形，側面PAD是等邊三角形，其中，,平面底面，是的中點．

(1)求證：//平面；

(2)求證：；

(3)求與平面所成角的正弦值。

 

Answer 1

(1)詳見解析(2)詳見解析(3).

【解析】

試題分析：（1）證BE∥平面PAD，可先構建平面EBM，證明平面EBM∥平面APD，由面面平行，得到線面平行；

（2）取PD的中點F，連接FE，根據(jù)線面垂直的判定及性質，及等腰三角形性質，結合線面垂直的判定定理可得AF⊥平面PDC，又由BE∥AF，可得BE⊥平面PDC；

（3）證明AF⊥平面PCD，連接DE，則∠BDE為BD與平面PDC所成角．.

試題解析：（1）證明：如圖，

取CD的中點M，連接EM、BM，則四邊形ABMD為矩形

∴EM∥PD，BM∥AD；

又∵BM∩EM=M，

∴平面EBM∥平面APD；

而BE?平面EBM，

∴BE∥平面PAD；

（2）證明：取PD的中點F，連接FE，則FE∥DC，BE∥AF，

又∵DC⊥AD，DC⊥PA，

∴DC⊥平面PAD，

∴DC⊥AF，DC⊥PD，

∴EF⊥AF，

在Rt△PAD中，∵AD=AP，F(xiàn)為PD的中點，

∴AF⊥PD，又AF⊥EF且PD∩EF=F，

∴AF⊥平面PDC，又BE∥AF，

∴BE⊥平面PDC，

∴CD⊥BE；

（3）【解析】
∵CD⊥AF，AF⊥PD，CD∩PD=D，

∴AF⊥平面PCD，

連接DE，則∠BDE為BD與平面PDC所成角．

在直角△BDE中，設AD=AB=a，則BE=AF=，BD=，∴sin∠BDE=．

考點：1.直線與平面所成的角；2.直線與平面平行的判定．