Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+b（b＜a＜1），f（1）=0，且方程f（x）+1=0有實(shí)根．
（1）求證：-3＜b≤-1且a≥0；
（2）若m是方程f（x）+1=0的一個(gè)實(shí)根，判斷f（m-4）的正負(fù)，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用根的存在性與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于a 的不等式解之；
利用根與系數(shù)的關(guān)系解答．

解答： 解：（1）∵f（1）=0，
∴1+2a+b=0，
∴b=-2a-1＜a，可得a＞-

1

3

，
又f（x）+1=0有實(shí)根，
∴（2a）²+8a≥0 可得a≥0或a≤-2
綜上可得1＞a≥0
又b=-2a-1
∴-3＜b≤-1
（2）設(shè)方程f（x）+1=0方程兩根為x₁，x₂，（x_1＞x₂），(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=4a²+8a，
∵0≤a＜1
∴x1-x2＜

12

＜4，
∴f（m-4）＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．