Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，對任意n∈N^*，T_n=a₁+3a₂+5a₃+…+（2n-1）a_n，已知T₁=1，T₂=7．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求使得T_n+1＜2（T_n+60）成立的最大正整數(shù)n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）首先設(shè)出等比數(shù)列的公比為q，利用T₁=1，T₂=5，求出數(shù)列的首項(xiàng)與公比，即可求數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）利用錯(cuò)位相減法求出T_n的表達(dá)式，再代入T_n+1＜2（T_n+60）化簡后，求出滿足條件的最大正整數(shù)n的值．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比是q，由題意得，T₁=1，T₂=7，
則

a1=1 a1+3a1q=7

，解得a₁=1、q=2，
所以an=2n-1，
（2）由（1）得，
Tn=a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an=1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n-1…①，
2Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n…②
①-②得：-Tn=1+2×2+2×22+2×23+…+2×2n-1-(2n-1)×2n，
=1+

4-2×2×2n-1

1-2

-(2n-1)×2n=（3-2n）×2ⁿ-3，
所以Tn=(2n-3)×2n+3，
又T_n+1＜2（T_n+60），
即（2n-1）×2ⁿ⁺¹+3＜2[（2n-3）×2ⁿ+3+60]，
化簡得，2ⁿ⁺²＜123，
又2⁴⁺²=64＜123，2⁵⁺²=128＞123，
所以，使得T_n+1＜2（T_n+60）成立的最大正整數(shù)n的值是4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列求和的方法：錯(cuò)位相減求和，以及不等式的求解，注意n的取值范圍，正確處理T_n=a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1+na_n是關(guān)鍵．