Question

已知圓C：x²＋(y－1)²＝5，直線l：mx－y＋1－m＝0，且直線l與圓C交于A、B兩點．
(1)若|AB|＝，求直線l的傾斜角；
(2)若點P(1,1)滿足2＝，求此時直線l的方程．

Answer 1

（1）或.        （2）x－y＝0或x＋y－2＝0.

(1)由圓C：x²＋(y－1)²＝5，得圓的半徑r＝，
又|AB|＝，故弦心距d＝＝.
再由點到直線的距離公式可得d＝，
∴＝，解得m＝±.
即直線l的斜率等于±，故直線l的傾斜角等于或.
(2)設A(x₁，mx₁－m＋1)，B(x₂，mx₂－m＋1)，由題意2＝可得2(1－x₁，－mx₁＋m)＝(x₂－1，mx₂－m)，
∴2－2x₁＝x₂－1，即2x₁＋x₂＝3.①
再把直線方程y－1＝m(x－1)代入圓C：x²＋(y－1)²＝5，化簡可得(1＋m²)x²－2m²x＋m²－5＝0，由根與系數(shù)關系可得x₁＋x₂＝.②
由①②解得x₁＝，故點A的坐標為(，)．
把點A的坐標代入圓C的方程可得m²＝1，即m＝±1，故直線l的方程為x－y＝0或x＋y－2＝0.