Question

已知f（x）=ax²+4x+1（a＜0），對于給定的負數(shù)a，存在一個最大的正數(shù)t，在區(qū)間[0，t]上，|f（x）|≤3恒成立．
（1）當a=-1時，求t的值；           
（2）求t關(guān)于a的表達式g（a）；
（3）求g（a）的最大值．

Answer 1

分析：（1）當a=-1時，f（x）=-（x-2）²+5要使存在一個最大的正數(shù)t，在區(qū)間[0，t]上，|f（x）|≤3恒成立，t只能是-x²+4x+1=3的較小的根即可；
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值，研究二次函數(shù)的最值與3的大小關(guān)系，分類討論，可求t關(guān)于a的表達式g（a）；
（3）由（2）中所得的表達式，求其最值即可．

解答：解：（1）當a=-1時，f（x）=-（x-2）²+5
由于函數(shù)f（x）的最大值大于3，要使存在一個最大的正數(shù)t，在區(qū)間[0，t]上，|f（x）|≤3恒成立，所以t只能是-x²+4x+1=3的較小的根2-

2

（2）由a＜0，f(x)=a(x+

2

a

)2+1-

4

a

當 1-

4

a

＞3，即-2＜a＜0時，要使|f（x）|≤3，在區(qū)間[0，t]上恒成立，要使得正數(shù)t最大，正數(shù)t只能是ax²+4x+1=3的較小的根，即t=

2a+4 -2

a

；
當 1-

4

a

≤3，即a≤-2時，要使|f（x）|≤3，在區(qū)間[0，t]上恒成立，要使得正數(shù)t最大，正數(shù)t只能是ax²+4x+1=-3的較大的根，即t=

-2 1-a -2

a

；
所以g(a)=

2a+4 -2 a (-2＜a＜0) -2 1-a -2 a (a≤-2)

（2）當-2＜a＜0時，t=

2a+4 -2

a

=

2

2a+4 +2

＜

1

2

；
當a≤-2時，t=

-2 1-a -2

a

=

2

1-a -1

≤

2

3 -1

=

3

+1；
所以g（a）的最大值為

3

+1．

點評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，求解的關(guān)鍵是正確理解“對于給定的負數(shù)a，存在一個最大的正數(shù)t，在區(qū)間[0，t]上，|f（x）|≤3恒成立”，要根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象好好研究．