Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R，都有f（x+1）=f（x﹣1），已知當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2x﹣1 ， 有以下結(jié)論：
①2是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期；
②函數(shù)f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，在（2，3）上單調(diào)遞增；
③函數(shù)f（x）的最大值為1，最小值為0；
④當(dāng)x∈（3，4）時(shí)，f（x）=23﹣x ．
其中，正確結(jié)論的序號(hào)是 ． （請(qǐng)寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①∵對(duì)任意的x∈R恒有f（x+1）=﹣f（x），
∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），即2是f（x）的周期，①正確
②∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=（ ）1﹣x，
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，函數(shù)f（x）在（1，2）上是減函數(shù)，在（2，3）上是增函數(shù)，故②正確；
函數(shù)f（x）的最大值是f（1）=1，最小值為f（0）= ，故③不正確；
設(shè)x∈[3，4]，則4﹣x∈[0，1]，f（4﹣x）=（ ）x﹣3=f（﹣x）=f（x），故④正確．
所以答案是：①②④．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇．