Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣1+ ，（a∈R，e為自然對數的底數）．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx﹣1與曲線y=f（x）沒有公共點，求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x﹣1+ ，

∴f′（x）=1﹣ = ，由f′（x）=0得x=lna

∴當x∈（﹣∞，lna）時，f′（x）＜0，∴（﹣∞，lna）是f（x）的單調遞減區(qū)間；

當x∈（lna，+∞）時，f′（x）＞0，∴（lna，+∞）是f（x）的單調遞增區(qū)間

（2）解：當a=1時，若直線l：y=kx﹣1與曲線y=f（x）=x﹣1+ 沒有公共點，則x﹣1+ =kx﹣1無解，

∵x=0時，上述方程不成立，∴x≠0

則x﹣1+ =kx﹣1可化為k=1+ ，

設g（x）=1+ ，∴g′（x）=

∴g′（x）滿足：在（﹣∞，﹣1）上g′（x）＞0，在（﹣1，0）上g′（x）＜0，在（0，+∞）上g′（x）＜0，

∴g（x）滿足：在（﹣∞，﹣1）上遞增，在（﹣1，0）上遞減，在（0，+∞）上遞減，

g（﹣1）=1﹣e，而當x→+∞時，g（x）→1，

∴g（x）的圖象：

∴g（x）∈（﹣∞，1﹣e]∪（1，+∞）

無解時，k∈（1﹣e，1]，

∴kmax=1

【解析】（1）先求導，f′（x）=1﹣ = ，由f′（x）=0得x=lna，分x∈（﹣∞，lna）與（﹣∞，lna）兩種情況寫出f（x）的單調遞減區(qū)間；（2）當a=1時，若直線l：y=kx﹣1與曲線y=f（x）=x﹣1+ 沒有公共點，則x﹣1+ =kx﹣1無解，則x﹣1+ =kx﹣1可化為k=1+ ，
設g（x）=1+ ，求導，研究此函數的單調性即可解決．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的最值及其幾何意義和利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減．