Question

11．設(shè)拋物線C：y²=2x的焦點為F，點A在C上，若|AF|=$\frac{5}{2}$，以線段AF為直徑的圓經(jīng)過點B（0，m），則m=1或-1．

Answer 1

分析 利用拋物線的焦點弦公式，求得A點坐標(biāo)，分類，分別求得線段AF為直徑的圓的圓心與直徑，利用兩點之間的距離公式即可求得m的值．

解答 解：拋物線C：y²=2x的焦點為F（$\frac{1}{2}$，0），設(shè)A（x，y），
由拋物線的焦點弦公式可知：|AF|=x+$\frac{p}{2}$=x+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，則x=2，
則y=±2，則A（2，2）或A（2，-2），
當(dāng)A點坐標(biāo)（2，2），以線段AF為直徑的圓圓心M（$\frac{5}{4}$，1），半徑為$\frac{5}{4}$，
經(jīng)過點B（0，m），則丨BM丨=$\frac{5}{4}$，
即$\sqrt{（\frac{5}{4}-0）^{2}+（m-1）^{2}}$=$\frac{5}{4}$，解得：m=1，
同理A點坐標(biāo)（2，-2），以線段AF為直徑的圓圓心M（$\frac{5}{4}$，-1），半徑為$\frac{5}{4}$，
經(jīng)過點B（0，m），則丨BM丨=$\frac{5}{4}$，
$\sqrt{（\frac{5}{4}-0）^{2}+（-1-m）^{2}}$=$\frac{5}{4}$，解得：m=-1，
故m為1或-1，
故答案為：1或-1．

點評 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的焦點弦公式，兩點之間的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．