Question

6．如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，四邊形EFBD為等腰梯形，EF∥BD，EF=$\frac{1}{2}$BD，平面EFBD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）證明：AC⊥平面EFBD；
（Ⅱ）若BF=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析 （I）由正方形的性質(zhì)得AC⊥BD，由面面垂直的性質(zhì)即可得到AC⊥平面EFBD；
（II）求出等腰梯形的上下底，利用勾股定理求出梯形的高，將多面體分解成四棱錐A-BDEF和四棱錐C-BDEF計算體積．

解答 證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCD為正方形，
∴AC⊥BD．
又平面EFBD⊥平面ABCD，平面EFBD∩平面ABCD=BD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面EFBD．
（Ⅱ）∵正方形ABCD的邊長為2，∴BD=AC=2$\sqrt{2}$，
∴EF=$\frac{1}{2}BD=\sqrt{2}$，
過F作FM⊥BD于M，
∵四邊形EFBD為等腰梯形，∴MB=$\frac{1}{2}$（BD-EF）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴FM=$\sqrt{F{B}^{2}-M{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
設(shè)AC∩BD=O，則AO=$\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$．
∴V_C-BDEF=V_A-BDEF=$\frac{1}{3}$S_梯形BDEF•AO=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（\sqrt{2}+2\sqrt{2}）×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
∴多面體ABCDEF的體積V=2V_A-BDEF=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了面面垂直的性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．