Question

16．在正三棱錐S-ABC中，M是SC的中點，且AM⊥SB，底面邊長AB=2$\sqrt{2}$，則正三棱錐S-ABC的體積為$\frac{4}{3}$，其外接球的表面積為12π．

Answer 1

分析 根據(jù)空間直線平面的垂直問題，得出棱錐的高，轉化頂點，求解體積，補圖的正方體的外接球求解．

解答 解：取AC中點D，則SD⊥AC，DB⊥AC，
又∵SD⊥BD=D，∴AC⊥平面SDB，
∵SB?平面SBD，∴AC⊥SB，
又∵AM⊥SB，AM∩AC=A，
∴SB⊥平面SAC，
∴SA⊥SB，SC⊥SB，
根據(jù)對稱性可知SA⊥SC，從而可知SA，SB，SC兩兩垂直，
將其補為立方體，其棱長為2，
∴V_S-ABC=S_C-ASB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$，其外接球即為立方體的外接球，半徑r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$2=\sqrt{3}$，表面積S=4π×3=12π．

點評 本題考查了空間空間幾何體的性質，學生的空間思維能力，計算能力，屬于中檔題．