【題目】過點作拋物線的兩條切線, 切點分別為, .

(1) 證明: 為定值;

(2) 記△的外接圓的圓心為點, 是拋物線的焦點,任意實數(shù), 試判斷以為直徑的圓是否恒過點? 并說明理由.

【答案】(I)詳見解析;(II)詳見解析.

【解析】試題分析:(Ⅰ)對 求導,得到直線的斜率為 ,進一步得到直線的方程為. 將點代入直線方程,整理得.

同理, . , 所以為定值.

()由題意可得)直線的垂直平分線方程為.

同理直線的垂直平分線方程為.

①②解得點. 拋物線的焦點為 可得 所以以為直徑的圓恒過點

試題解析:

() 法1:,,所以. 所以直線的斜率為.

因為點在拋物線, 所以,.

所以直線的方程為.

因為點在直線,

所以,.

同理, .

所以是方程的兩個根.

所以.

,

所以為定值.

法2:設過點且與拋物線相切的切線方程為,

消去,

, 化簡得.

所以.

,,所以.

所以直線的斜率為,直線的斜率為.

所以, 即.

,

所以為定值.

() 法1:直線的垂直平分線方程為,

由于,,

所以直線的垂直平分線方程為.

同理直線的垂直平分線方程為.

①②解得, ,

所以點.

拋物線的焦點為

由于,

所以

所以以為直徑的圓恒過點

另法: 為直徑的圓的方程

把點代入上方程,知點的坐標是方程的解.

所以以為直徑的圓恒過點

法2:設點的坐標為,

則△的外接圓方程為

由于點在該圓上,

,

.

兩式相減得, ①

由(Ⅰ)知,代入上式得

,

時, 得, ②

假設為直徑的圓恒過點,則,

, ③

由②③解得,

所以點.

時, 則,點.

所以以為直徑的圓恒過點

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