Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin2x+cos2x+1+a（a∈R，a為常數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

6

]上的最大值與最小值之和為3，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：化簡(jiǎn)三角函數(shù)解析式為f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1+a，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求周期和最值．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

3

sin2x+cos2x+1+a=2sin（2x+

π

6

）+1+a，
∴（Ⅰ）函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）∵x∈[-

π

6

，

π

6

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

π

2

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴f（x）_max=2+a+1=a+3，f（x）_min=-1+a+1=a，
∴2a+3=3，
解得a=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)以及性質(zhì)的運(yùn)用；首先要利用三角函數(shù)的公式化簡(jiǎn)解析式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)名稱的形式，然后利用其性質(zhì)求周期及最值等．