Question

如圖，B地在A地的正東方向4km處，C地在B地的北偏東30°方向2km處，河流的沿岸PQ（曲線）上任意一點(diǎn)到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)2km．現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．經(jīng)測算，從M到B、M到C修建公路的費(fèi)用分別是a萬元∕km、2a萬元/km，那么修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是

 

萬元．

Answer 1

分析：依題意知曲線PQ是以A、B為焦點(diǎn)、實軸長為2的雙曲線的一支，此雙曲線的離心率為2，以直線AB為x軸、AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則該雙曲線的方程為x2-

y2

3

=1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，

3

）．求出修建這條公路的總費(fèi)用W，根據(jù)雙曲線的定義有|MM1|=

1

2

|MB|，根據(jù)a+b≥2

ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號的方法求出W的最小值即可．

解答：解：依題意知曲線PQ是以A、B為焦點(diǎn)、實軸長為2的雙曲線的一支，此雙曲線的離心率為2，以直線AB為x軸、AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則該雙曲線的方程為x2-

y2

3

=1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，

3

）．則修建這條公路的總費(fèi)用W=a|MB|+2a|MC|=2a(

1

2

|MB|+|MC|)，設(shè)點(diǎn)M、C在雙曲線右準(zhǔn)線上射影分別為點(diǎn)M₁、C₁，根據(jù)雙曲線的定義有|MM1|=

1

2

|MB|，所以W=2a(

1

2

|MB|+|MC|)=2a(|MM1|+MC|)≥2a|CC1|=2a×(3-

1

2

)=5a
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M為曲線PQ與線段CC₁的交點(diǎn)時取等號，故W的最小值是5a．
故答案為；5a．

點(diǎn)評：考查學(xué)生根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型的能力，以及會用a+b≥2

ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號的方法來求函數(shù)的最小值的能力．