Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，A₁B₁⊥BC，BC=1，AA₁=AC=2，E、F分別為A₁C₁、BC的中點．
（Ⅰ）求證：C₁F∥平面EAB；
（Ⅱ）求三棱錐A-BCE的體積．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）法一：取AB的中點G，連接EG，證明C₁F平行于平面ABE內的直線EG即可；
法二：取AC中點H，證明平面C₁HF∥平面ABE，即可證明C₁F∥平面ABE；
（Ⅱ）利用等積法，三棱錐A-BCE的體積V_A-BCE=V_E-ABC，求出即可．

解答： 解：（Ⅰ）法一：取AB中點G，連結EG，F(xiàn)G，…（1分）
∵E，F(xiàn)分別是A₁C₁，BC的中點，
∴FG∥AC，且FG=

1

2

AC；
又∵AC∥A₁C₁，且AC=A₁C₁，
∴FG∥EC₁，且FG=EC₁，
∴四邊形FGEC₁為平行四邊形，…（4分）
∴C₁F∥EG；
又∵EG?平面ABE，C₁F?平面ABE，
∴C₁F∥平面ABE；…（6分）
法二：取AC中點H，連結C₁H，F(xiàn)H，…（1分）
則C₁E∥AH，且C₁E=AH，
∴四邊形C₁EAH為平行四邊形，
∴C₁H∥EA；
又∵EA?平面ABE，C₁H?平面ABE，
∴C₁H∥平面ABE，…（3分）
∵H、F分別為AC、BC的中點，
∴HF∥AB；
又∵AB?平面ABE，F(xiàn)H?平面ABE，
∴FH∥平面ABE；…（4分）
又∵C₁H∩FH=H，C₁H?平面C₁HF，F(xiàn)H?平面C₁HF，
∴平面C₁HF∥平面ABE；…（5分）
又∵C₁F?平面C₁HF，
∴C₁F∥平面ABE；…（6分）
（Ⅱ）∵AA₁=AC=2，BC=1，AB⊥BC，
∴AB=

CA2-CB2

=

3

；…（8分）
∴三棱錐A-BCE的體積為
V_A-BCE=V_E-ABC…（10分）
=

1

3

S_△ABC•AA₁
=

1

3

×

1

2

×

3

×1×2=

3

3

．…（12分）

點評：本題考查了空間中的平行與垂直關系的判斷與性質應用問題，也考查了求空間幾何體的體積的計算問題，是中檔題目．