Question

宇宙深處有一顆美麗的行星，這個(gè)行星是一個(gè)半徑為r（r＞0）的球．人們在行星表面建立了與地球表面同樣的經(jīng)緯度系統(tǒng)．已知行星表面上的A點(diǎn)落在北緯60°，東經(jīng)30°；B點(diǎn)落在東經(jīng)30°的赤道上；C點(diǎn)落在北緯60°，東經(jīng)90°．在赤道上有點(diǎn)P滿足PB兩點(diǎn)間的球面距離等于AB兩點(diǎn)間的球面距離．
（1）求AC兩點(diǎn)間的球面距離；
（2）求P點(diǎn)的經(jīng)度；
（3）求AP兩點(diǎn)間的球面距離．

Answer 1

考點(diǎn)：多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)球心為O，北緯60°圈所對(duì)應(yīng)的圓心為O’，根據(jù)已知求出AC=O’A=O’C=

1

2

r，進(jìn)而得到sin

1

2

∠AOC=

1

4

，即∠AOC=2arcsin

1

4

，可得兩點(diǎn)間的球面距離；
（2）PB兩點(diǎn)間的球面距離等于AB兩點(diǎn)間的球面距離，即PB=AB．可知∠POB=∠AOB=60°，又由P點(diǎn)在赤道上，B點(diǎn)落在東經(jīng)30°的赤道上，可得求P點(diǎn)的經(jīng)度；
（3）顯然P點(diǎn)的兩種可能對(duì)應(yīng)的AP間的球面距離相等．不妨P所在的經(jīng)度為東經(jīng)90°，證得AC∥BP，可得A、B、C、P共面．又由AB=CP，可得四邊形ABCP為等腰梯形，求出AP后，可得sin

1

2

∠AOP=

6

4

，進(jìn)而得到AP兩點(diǎn)間的球面距離．

解答： 解：設(shè)球心為O，北緯60°圈所對(duì)應(yīng)的圓心為O’，
（1）那么OO′=rsin60°=

3

2

r．
O′A=O′C=rcos60°=

1

2

r．
又∵∠AO′C=60°．
∴AC=O′A=O′C=

1

2

r．
則sin

1

2

∠AOC=

1

4

，
那么∠AOC=2arcsin

1

4

，
∴兩點(diǎn)間的球面距離為2r•arcsin

1

4

，
（2）PB兩點(diǎn)間的球面距離等于AB兩點(diǎn)間的球面距離，
∴PB=AB．
可知∠POB=∠AOB=60°，
又P點(diǎn)在赤道上，B點(diǎn)落在東經(jīng)30°的赤道上；
∴P點(diǎn)的經(jīng)度為東經(jīng)90°或西經(jīng)30°．
（3）顯然P點(diǎn)的兩種可能對(duì)應(yīng)的AP間的球面距離相等．
不妨P所在的經(jīng)度為東經(jīng)90°．
由條件可知O’A平行OB且等于OB的一半，
延長BA與OO′交于D點(diǎn)，
那么

DA

DB

=

DO′

DO

=

1

2

．
而O′C平行OP且等于OP的一半，
∴D、P、C共線且

DC

DP

=

DO′

DO

=

1

2

．
可知AC∥BP，
所以A、B、C、P共面．
又由AB=CP，
∴四邊形ABCP為等腰梯形，
∴AP=

6

2

r，
sin

1

2

∠AOP=

6

4

，
∴∠AOP=2arcsin

6

4

，
∴AP兩點(diǎn)間的球面距離為2r•arcsin

6

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球面距離，求球面距離關(guān)鍵是求球心角的度數(shù)，而求球心角關(guān)鍵在求弦長．