Question

14．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，且a_n+1=a_n+2n+1．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=$\frac{2}{{a}_{n}+2n}$（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）采用累加法，即可求出數(shù)列的通項公式，
（2）采用裂項求和法，即可求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）首項a₁=1，且a_n+1=a_n+2n+1，
∴a_n+1-a_n=2n+1，
∴a₂-a₁=2+1=3，
a₃-a₂=2×2+1=5，
…，
a_n-a_n-1=2n-1，
累加得到a_n-a₁=3+5+7+…+2n-1，
∴a_n=1+3+5+7+…+2n-1=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
（2）b_n=$\frac{2}{{a}_{n}+2n}$=$\frac{2}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{2}{n（n+2）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{3{n}^{2}+5n}{2{n}^{2}+6n+4}$

點評 本題考查了裂項求和和累加法求出數(shù)列的通項公式，屬于中檔題．