Question

19．三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=$\sqrt{2}$，CC₁⊥平面ABC．若球O的表面積為3π，則這個(gè)三棱柱的體積是（　�。�

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 棱柱為直棱柱，底面為直角三角形，故而球心位于側(cè)面BCC₁B₁的中心，根據(jù)球的半徑計(jì)算棱柱的高即可求出棱柱的體積．

解答 解：∵AB=AC=1，BC=$\sqrt{2}$
∴AB⊥AC，
∵CC₁⊥平面ABC，三棱柱ABC-A₁B₁C₁內(nèi)接于球O，
∴O為矩形BCC₁B₁的中心，
設(shè)球O半徑為r，則4πr²=3π，∴r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
即OC=r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴三棱柱的高h(yuǎn)=2$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{1}{2}BC）^{2}}$=1．
∴三棱柱的體積V=S_△ABC•h=$\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{2}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱柱與外接球的關(guān)系，棱柱的體積計(jì)算，屬于中檔題．