Question

已知橢圓C： (a>b>0)的離心率為，且橢圓C上一點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的三角形的周長為2+2．

(1)求橢圓C的方程；

(2)過右焦點(diǎn)F2作直線l 與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)，若，求的取值范圍．

 

Answer 1

(1) ； (2)

【解析】

試題分析：(1)由題設(shè)知 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(2)因?yàn)楫?dāng)直線的斜率不存在時， ，不適合題意，所以直線的斜率存在，設(shè)為，直線的方程為，它與橢圓的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，則由得

通過方程組，借助韋達(dá)定理，得到，結(jié)合得到與的關(guān)系式，并且可由得到的取值范圍；

另一方面，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111718595176315954/SYS201411171900004822142016_DA/SYS201411171900004822142016_DA.017.png">由前述的取值范圍可使問題得到解決.

試題解析：

【解析】
(1)由題意知： ，且 ， 2分

解得 ， 3分

橢圓的方程為 . 4分

(2)由題意得直線 的斜率存在，右焦點(diǎn) ，可設(shè)直線 的方程為：

由 得

由題意

設(shè)，則 6分

由得 7分

9分

令 ， 在上單調(diào)遞增，

可得

故，解得 2分

= 13分

即的取值范圍是 14分

考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、平面向量的數(shù)乘運(yùn)算與數(shù)量積；3、直線與橢圓的位置關(guān)系.