Question

甲、乙兩人用農(nóng)藥治蟲，由于計(jì)算錯(cuò)誤，在A、B兩個(gè)噴霧器中分別配制成12%、6%的藥水各10千克，實(shí)際上兩個(gè)噴霧器中農(nóng)藥濃度本應(yīng)是一樣的，現(xiàn)在只有兩個(gè)容量為1千克的藥瓶，他們從A、B兩噴霧器中分別取1千克的藥水，將A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，這樣操作進(jìn)行3n次后，A噴霧器藥水成了含有a_n%的藥水，B噴霧器藥水成了含有b_n%的藥水．
①證明：a_n+b_n是一個(gè)常量
②建立a_n與a_n-1的關(guān)系式
③按照這樣的方式進(jìn)行下去，他們能否得到濃度大致相同的藥水．

Answer 1

（1）A中含有農(nóng)藥12%×10=1.2千克，B中含有農(nóng)藥6%×10=0.6千克
次操作后，A中含有農(nóng)藥0.1 千克，B中含有農(nóng)藥0.1 千克
∴0.1a_n+0.1b_n=1.2+0.6=1.8，
則a_n+b_n=18 為常量．
（2）第n 次操作后，A中10千克藥水中農(nóng)藥的重量具有關(guān)系式：

9

10

an-1+

1

10

×0.1×bn-1=0.1an
又∵b_n-1=18-a_n-1
∴an=

4

5

an-1+

9

5

．
（3）由（2）可知，an-9=

4

5

(an-1-9)，
∴a_n-9是公比為

4

5

的等比數(shù)列，
首項(xiàng)為3，∵q=

4

5

，
∴an=9+3×(

4

5

)n-1是一個(gè)無窮遞縮等比數(shù)列．
當(dāng)n 無窮大時(shí)a_n=9，
∵a_n+b_n=18
∴b_n=9
即能大致相同．