Question

對(duì)于任意n∈N^*，比較(1+1)(1+

1

3

)…(1+

1

2n-1

)與

2n+1

的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：利用數(shù)學(xué)歸納法的定義即可證明．

解答：解：取n=1，(1+1)＞

2•1+1

，取n=2，(1+1)(1+

1

3

)＞

2•2+1

…由此推測(cè)(1+1)(1+

1

3

)…(1+

1

2n-1

)＞

2n+1

．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=2，右邊=

3

2＞

3

∴不等式成立．
（2）假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，有(1+1)(1+

1

3

)…(1+

1

2k-1

)＞

2k+1

，
那么，n=k+1時(shí)，(1+1)(1+

1

3

)…(1+

1

2k-1

)[1+

1

2(k+1)-1

]＞

2k+1

(1+

1

2k+1

)=

2k+1

•

2k+2

2k+1

=

2k+2

2k+1

，

∵( 2k+2 2k+1 )2-( 2k+3 )2= 4k2+8k+4-(4k2+8k+3) 2k+1 = 1 2k+1 ＞0 ∴ 2k+2 2k+1 ＞ 2k+3 = 2(k+1)+1

因而(1+1)(1+

1

3

)…(1+

1

2k-1

)(1+

1

2k+1

)＞

2(k+1)+1

，
即 當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
由上可知，對(duì)于任意n∈N^*，(1+1)(1+

1

3

)…(1+

1

2n-1

)＞

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題的方法步驟和原理是解題的關(guān)鍵．