Question

3．在空間直角坐標系o-xyz中，A（0，1，0），B（1，1，1），C（0，2，1）確定的平面記為α，不經過點A的平面β的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（2，2，-2），則（　�。�

• A． α∥β
• B． α⊥β
• C． α，β相交但不垂直
• D． α，β所成的銳二面角為60°

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{AB}$=（1，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（0，1，1），設平面α的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），列出方程組，求出$\overrightarrow{m}$=（1，1，-1），由此能求出α∥β．

解答 解：∵A（0，1，0），B（1，1，1），C（0，2，1）確定的平面記為α，
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（0，1，1），
設平面α的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=x+z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，-1），
∵不經過點A的平面β的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（2，2，-2），
$\overrightarrow{n}$=（2，2，-2）=2（1，1，-1）=2$\overrightarrow{m}$，
∴α∥β．
故選：A．

點評 本題考查兩個平面的位置關系的判斷，考查空間向量等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、考查函數(shù)與方程思想，是基礎題．